函数的单调性与最值的教学设计

时间：2020-11-18 14:30:43 教学设计我要投稿

函数的单调性与最值的教学设计

　　一、考纲要求及考情分析

函数的单调性与最值的教学设计

　　二、教材知识点梳理

　　1．函数的单调性

　　(1)单调函数的定义

	增函数	减函数
定义	一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数	当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述	自左向右看图象是上升的	自左向右看图象是下降的

　　[易错易混] 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y＝x2，当x∈[0，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，0]时是减函数．

　　(2)函数单调性的常用结论

　　①若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；

　　②若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

　　③函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

　　④函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同．

　　2．函数的最值

前提	设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件	(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M	(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论	M为最大值	M为最小值

　　3．预习精演练

　　1．一次函数y＝kx＋b在R上是增函数，则k的范围为( )

　　A．k＞0 B．k≥0

　　C．k＜0 D．k≤0?? 答案：A

　　2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )

　　A．(－∞，－2) B．(－∞，1)

　　C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)?? 选D.

　　3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的`是( )

　　A．y＝ B．y＝cos x

　　C．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x? 选D.

　　4．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.答案：4

　　三、题型解析

　　考点一利用单调性求最值[简单型]——发展数学运算

　　1．函数f(x)＝的最大值为________．

　　解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x＜1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

　　答案：2

　　2．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)，若f(x)在上的值域为[，2]，则a＝________.

　　解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)在上单调递增，

　　所以即解得a＝.

　　答案：

　　规律总结------求函数最值的常用方法

　　1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

　　2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

　　3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最

　　考点二确定函数的单调性(区间)[探究型]——直观想象、逻辑推理

　　[例1] (1)函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的递减区间为________．

　　解析：f(x)＝

　　画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

　　答案：[－1,0]和[1，＋∞)

　　(2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1＜a＜3)在[1,2]上的单调性．

　　解：设1≤x1＜x2≤2，则

　　f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－

　　＝(x2－x1)，

　　由1≤x1＜x2≤2，得x2－x1＞0,2＜x1＋x2＜4，

　　1＜x1x2＜4，－1＜－＜－.

　　又因为1＜a＜3，

　　所以2＜a(x1＋x2)＜12，

　　得a(x1＋x2)－＞0，从而f(x2)－f(x1)＞0，

　　即f(x2)＞f(x1)，

　　故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单|调递增．

　　[变式] ?? 将本例(1)中函数变为f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？

　　解析：作出函数y＝|－x2＋2x＋1|的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－)和(1,1＋)．

　　答案：(－∞，1－)和(1,1＋)

　　注：

　　1．判断函数的单调性应先求定义域．

　　2．定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．

　　3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．

　　4．图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

　　考点三函数单调性的应用[高频型]——发展逻辑推理、提升数学运算

命题点1	利用函数单调性比较大小

　　[例2] 已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则( )

　　A．f(x1)＜0，f(x2)＜0

　　B．f(x1)＜0，f(x2)＞0

　　C．f(x1)＞0，f(x2)＜0

　　D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

　　解析：∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，

　　∴当x1∈(1,2)时，f(x1)＜f(2)＝0，

　　当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，

　　即f(x1)＜0，f(x2)＞0.

　　答案：B

命题点2	利用函数单调性求参数范围

　　[例3] (2018·青海西宁高三期末)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．

　　解析：要使函数f(x)在R上单调递增，

　　则有即解得2＜a≤3，

　　即实数a的取值范围是(2,3]．

　　答案：(2,3]

　　规律总结：

　　1．利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路

　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，根据单调性比较函数值大小．

　　2．求解含“f”的函数不等式的解题思路

　　先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．

　　提醒：应注意g(x)，h(x)应在函数y＝f(x)的定义域内．

　　3．根据函数的单调性求参数的取值范围的常用方法

　　(1)数形结合法：将函数的单调性转化为函数图象的升(降)，再转化为其参数满足的不等式(组)进而求解．

　　(2)导数法：将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)问题求解．

　　四、课后作业

　　1．已知偶函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )

　　A. B．

　　C. D．

　　解析：选A.因为f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f(2x－1)＜f，故|2x－1|＜，解得＜x＜.

　　2．(2018·山东日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )

　　A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]

　　C．(0,1) D．( 0,1]

　　解析：选D.由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a，＋∞)，∴a≤1.

　　∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，

　　∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a＞0，

　　故0＜a≤1.故选D.

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