初中数学《立方根》的教学设计
教学目标
(一)教学知识点
1、了解立方根的概念,会用根号表示一个数的立方根。
2、能用立方运算求某些数的立方根,了解开立方与立方互为逆运算。
3、了解立方根的性质。
4、区分立方根与平方根的不同。
(二)能力训练要求
1、在学了平方根的基础上,要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识,领会类比思想。
2、发展学生的求同求异思维,使他们能在复杂环境中明辨是非。
(三)情感与价值观要求
当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代,每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会,因此让他们会学知识比学会知识更重要,这就要从小培养良好的学习习惯,能自己解决的问题就自己解决,其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法,本节课重点训练学生的类比思想的养成。
教学重点
立方根的概念。
教学难点
1、正确理解立方根的概念。
2、会求一个数的立方根。
3、区分立方根与平方根的不同之处。
教学方法
类比学习法。
教具准备
投影片两张:
第一张:平方根与立方根的联系与区别(记作§2、3 A);
第二张:补充练习(记作§2、3 B)。
教学过程
Ⅰ。新课导入
上节课我们学习了平方根的定义,若x2=a,则x叫a的平方根,即x=± 。
若正方体的棱长为a,体积为8,根据正方体体积的公式得a3=8,那a叫8的什么呢?本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论,若x3=a,则x叫a的什么呢?
Ⅱ。新课讲解
1、[师]请大家先回忆平方根的定义。
[生]若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根。
[师]在平方根定义的基础上,若x3=a,则x叫a的什么呢?请大家自己猜想然后讨论得出结果。
[生]因为x2=a,x叫a的平方根,所以当x的立方等于a时,x叫a的立方根。
[师]当x4=a时,x叫a的什么根呢?
[生]当x的4次方等于a时,x叫a的4次方根。
[师]大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌。下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢?
[生]能。若x的平方等于a,则x叫a的平方根,记作x=± ,读作x等于正、负二次根号a,简称为x等于正,负根号a。若x的立方等于a,则x叫a的立方根,记作x=± ,读作x等于正、负三次根号a,简称x等于正、负根号a。
[师]请大家对这位同学的回答展开讨论,小组总结后选代表发言。
[生甲]我认为这位同学回答得不对。如果x2=a,则x=± ,x3=a时,x=± 也成立的话,那如何区分平方根与立方根呢?
[生乙]因为乘方与开方是互为逆运算,求立方根可通过逆运算立方来求,如x3=8,因为23=8,所以x=2,只有一个根而不是±2,所以立方根的个数不正确。
[师]大家的分析非常有道理,请认真看书第13、14页可知,若一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根,记为x= ,读作x等于三次根号a。
开立方的定义
[师]大家先回忆开平方的定义,再类推开立方的定义。
[生]求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,则求一个数a的立方根的运算,叫做开立方,其中a叫做被开方数。
(2)立方根的性质
[师]2的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是8?
[生]2的立方等于8,(-2)3=-8,所以没有其他的数的立方等于8。
[师]-3的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27?
[生]-3的立方等于-27,33=27,所以没有其他的数的立方等于-27。
[师]0的立方等于多少?0有几个立方根?
[生]0的立方等于0,0有1个立方根是0。
[师]从刚才的讨论中,大家总结一下正数有几个立方根?0有几个立方根?负数有几个立方根?
[生]正数有一个立方根,0有一个立方根是0,负数有一个立方根。
[师]对。正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根,0的立方根有一个,是0。
(3)平方根与立方根的区别与联系。
[师]我们已经学习了平方根与立方根的定义,并会求某些数的平方根和立方根,下面请大家说说它们的联系与区别。
[生]从定义来看,若一个数x的平方等于a,即x2=a,则x叫a的平方根;若一个数x的立方等于a,即x3=a,则x叫a的立方根,都是一个数x的乘方等于a,但一个是平方,另一个是立方。
[生]一个正数的平方根有两个,一个负数没有平方根,零的平方根有一个是零;一个正数的立方根有一个,并且是正数,一个负数有一个负的立方根,零的立方根有一个是零。
[生]它们的表示方法和读法不同,一个正数a的平方根表示为± ,立方根表示为 。
[师]很好。大家现在已经具备了一定的分析判断能力,这对大家以后的学习和工作非常有帮助,继续发扬下去,你们都将前途无量,下面我再系统地总结一下。
投影片:(§2、3 A)
平方根与立方根的联系与区别。
联系:
(1)0的平方根、立方根都有一个是0。
(2)平方根、立方根都是开方的结果。
区别:
(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根。”
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,一个正数有一个立方根;一个负数没有平方根,一个负数有一个立方根。
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为± ,a的立方根表示为 。
(4)被开方数的取值范围不同
± 中的被开方数a是非负数; 中的被开方数可以是任何数。
2、例题讲解
[例1]求下列各数的'立方根:
(1)-27;(2) ;(3)0。216;(4)-5。
解:(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即 =-3;
(2)因为( )3= ,所以 的立方根是 ,即 = ;
(3)因为0。63=0。216,所以0。216的立方根是0。6,即 =0。6;
(4)-5的立方根是 。
[师]请大家思考下列问题。
表示a的立方根,则( )3等于什么? 等于什么?
大家可以先举例后找规律。
[生]∵23=8,∴ =2,( )3=8;
∵(-2)3=-8,
∴ =-2;( )3=-8;
∵( )3= ,
∴ ;
∵(- )3=- ,
∴ 。
∴( )3=a。
[师]若x3=a,则x= ,∴x3=( )3=a。
∴( )3=a。
又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a,所以 =a。下面就这两个式子进行练习。
[例2]求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3)- ;(4)( )3
解:(1) = =-2;
(2) = ;
(3) = ;
(4)( )3=9。
Ⅲ。课堂练习
(一)随堂练习
1、求下列各式的值:
。
解: ;
2、一个正方体,它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍,这个正方体的棱长是多少?
解:设正方体的棱长是x厘米,得
x3=8×33
∴x3=216
∴x=6(厘米)
答:这个正方体的棱长是6厘米。
(二)补充练习
投影片:(§2、3 B)
1、求下列各数的立方根:
0,1,- ,6,- ,0。001
2、求下列各式的值:
3、下列说法对不对?
-4没有立方根;
1的立方根是±1;
的立方根是 ;
-5的立方根是- ;
64的算术平方根是8。
1、解:因为03=0,所以0的立方根为0。
即 =0;
因为13=1,所以1的立方根为1、
即 =1;
因为 的立方根为 。
即 ;
6的立方根为 ;
∵- 的立方根为- ,即 ;
∵0。13=0。001,所以0。001的立方根为0。1,即 =0。1、
2、解: ;
。
3、答案:错。因为负数也有立方根;
错。因为1的立方根是1;
错。 的立方根是 ,平方根是± ;
对。-5的立方根是 ,- ;
对。
Ⅳ。议一议
1、某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体。现在要造一个新的球形储气罐,如果它的体积是原来的8倍,那么它的半径是原储气罐半径的多少倍?
解:设原来的球形储气罐的半径为r1,后来的储气罐的半径为r2,由球体积公式V= πr3得
8× πr13= πr23
∴8r13=r23
∴(2r1)3=r23
∴r2=2r1
即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍。
2、一个正方体的体积变为原来的n倍,它的棱长变为原来的多少倍?
解:设原正方体的棱长为a,后来的正方体的棱长为b,得
na3=b3∴
∴b= 。
即后来的棱长变为原来的 倍。
Ⅴ。课时小结
本节课学了如下内容:
1、立方根的定义。
2、立方根的性质。
3、开立方的定义。
4、平方根与立方根的区别与联系。
5。会求一个数的立方根。
Ⅵ。课后作业
习题2、5。
Ⅶ。活动与探究
1、求下列各式中的x。
(1)8x3+27=0;
(2)(x-1)3-0。343=0;
(3)81(x+1)4=16;
(4)32x5-1=0。
分析:先把每一个式子都化成x3= 的形式,然后再根据平方根或立方根的定义来求,
解:(1)由8x3+27=0。∴8x3=-27
∴x3= ∴x= ;
(2)由(x-1)3-0。343=0
∴(x-1)3=0。343
∴x-1= =0。7
∴x=1、7;
(3)由81(x+1)4=16
∴(x+1)4=
∴x+1=±
∴x=± -1∴x=- 或x=- ;
(4)由32x5-1=0
∴x5=
∴x= 。
2、求满足 +1=x的x的值。
解: =x-1
∴x-1=-1或x-1=0或x-1=1
∴x=0或x=1或x=2
3、计算
(1)- ;
(2) 。
解:(1) ;
(2)
=- 。
板书设计
§2、3 立方根
一、(1)立方根开立方的定义
(2)立方根的性质
(3)立方根与平方根的联系与区别
二、例题讲解(求立方根)
三、练习
四、议一议
五、小结
六、作业
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