《椭圆及其标准方程》教学设计
【教学及培养目标】
双基：理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用．
能力：通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力．
【教材处理的建议】
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
难点：椭圆标准方程的推导与化简．
【教学技巧与辅助手段】
运用多媒体（ppt）和实物投影仪等辅助教学．
【教学探究过程】
一、创设问题情景、引出概念
首先用多媒体演示“神舟六号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图．
探究一 “神舟七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？（椭圆）
此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子．
再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历．
教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的．
（说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．）
二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念
引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征．
学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆．
让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？）
（说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．）
启发、归纳出椭圆的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
引导学生找定义的关键处：
①平面曲线；
②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；
③常数大于| F1F2|．
（说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的`定义留下深刻印象．）
三、椭圆标准方程的推导
由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系设点列出方程化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则．
（说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．）
探究二 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
（说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．）
经学生讨论易得如下方案：
1．建系．取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立坐标系．
2．设点．设为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是（）.则．又设M与距离之和等于()．
3．列式．依据椭圆的定义，有
教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？
引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法．
（说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住机会加强运算技能的训练．）
4．化简．通过移项, 两次平方后得到：
两边同除以，得 ． （※）
由椭圆的定义可知，,即，
思考：观察上图，能从中找出表示的线段吗？由图可知，．令，那么（※）就是
此即为椭圆的标准方程．它所表示椭圆的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的椭圆方程．
探究三：如果椭圆的焦点F1，F2在y轴上，线段F1F2的垂直平分线为x轴，a，b，c意义同上，椭圆的方程形式又如何？
学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成,只要将方程中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准方程．
要求学生课后推导验证．
（说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在轴上的椭圆的标准方程．）
引导学生注意理解以下几点：
① 在椭圆的两种标准方程中，都有的要求；
② 在椭圆的两种标准方程中，由于，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上；
③ 椭圆的三个参数之间的关系是，其中大小不确定．
四、研究例题、形成技能
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1(0,-4)，F2（0，4），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10，求它的标准方程．
（先让学生分析解题思路．强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性．）
解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
因为2a=10，2c=8，所以a=5，b=4．
所以，b2=a2－c2=52－42=9．
所以所求椭圆标准方程为．
例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是F1（－2，0）和F2（2, 0），过点P0（,），求它的标准方程．
（先让学生分析解题思路．除了强调从定义、标准方程等基础知识出发考虑问题的重要性外，还要注意引导学生分析本例与例1的不同点．）
解：因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，
所以，．又，
所以，．
所以所求标准方程为．
另法：因为，
所以可设所求方程．将点P0（,）的坐标代入可求出，从而求出椭圆方程．
（说明：由两个例题可以总结椭圆方程有两种求法：其一由定义求出与，根据条件写出方程；其二是由a，b，c的关系和椭圆标准方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．可以达到渗透求轨迹的常用方法的目的．另外要注意求方程的基本步骤．）
五、课堂形成性练习，即时反馈
1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a=4,b=3,焦点在x轴；
（2）a=5,c=2,焦点在y轴上．
2．椭圆的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD为过左焦点的弦，则的周长为 ．
六、知识整理，形成系统（由学生归纳）
1．椭圆的定义（注意几何特征和三个条件）．
2．推导椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系，直接法求轨迹方程）．
3．求椭圆方程的方法（待定系数法求轨迹方程）．
七、布置作业，巩固提高
1．课本P40．1－3．
2．小组合作自编题（总题数4个，可以填空、选择或解答题．要求说明编题的基本思路）．
3．探索题：上网查询有关椭圆的几何作法，对不同的作法作比较，并研究交流其作法根据．
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