数学课题变化率的教学设计
目标知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
重点：平均变化率的含义
教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
教学过程：
情景导入：
展示目标: 知道平均变化率的定义。
会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。
检查预习:见学案
合作探究：
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度 粗略地描述其运动状态?
交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。
精讲精练：
例1 过曲线 上两点 和 作曲线的割线，求出当 时割线的斜率.
例2 已知函数 ，分别计算 在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001]
有效训练
练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
练2. 已知函数 ， ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上 及 的平均变化率.
反思总结
1.函数 的平均变化率是
2.求函数 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量
（2）计算平均变化率
当堂检测
1. 在 内的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2. 设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 为（ ）
A． B．
C． D．
3. 质点运动动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度为（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 ，从 到 的平均速度是_______
5. 在 附近的平均变化率是____
6、已知函数 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+ ， ）），求
计数原理复习（2）
一、知识点：
1．根据具体问题的特征选择计数原理，利用排列、组合知识解决实际问题。
2．分清是排列还是组合问题。
二、基础训练
1．某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的所有可能方式有 种。
2．已知， ，设 ，则 的值为 。
3．有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中有2部手机自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为 。
４．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 种 。
5．等腰三角形的三条边长均为正整数，它的周长不大于10，这样不同形状的等腰三角形的种数为 。
三、典型例题
例1．5男4女站成一排，分别指出满足下列条的排法种数（只列式）
(1) 甲站正中间的排法有 种，甲不站在正中间的排法有 种．
(2) 甲、乙相邻的排法有 种，甲乙丙三人在一起的排法有 种．
(3) 甲站在乙前的排法有 种，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相邻）的排法有 种，丙在甲乙之间（不要求一定相邻）的排法有 种．
(4) 甲乙不站两头的排法有 种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有 种．
(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有 种．
(6) 女生互不相邻的排法有 种，男女相间的排法有 种．
(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有 种。
(8) 甲乙之间有且只有4人的排法有 种．
例２．用0，1，2，3，4，5这六个数可以组成多少个分别符合下列条且无重复数字的五位数：（1）奇数；（2）能被25整除的数；（3）比12345大且能被5整除的数。
例3．（１）求 展开式中含x的项的系数。
（２）已知 ，
若 ，求n.
四、巩固练习
1．现有男、女学生共 人，从男生中选 人，从女生中选 人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有 种不同方案，那么男、女生人数分别是 ， 。
2．由 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数。
3．在 展开式中，如果第 项和第 项的二项式系数相等，
则 ，
五、堂小结
六、后反思
七、后作业
1.用1、5、9、13中任意一个数作分子，4、8、12、16中任意一个数作分母，可构成 个不同的分数？可构成 个不同的真分数？
2.设 且a<20，则(27－a)(28－a)(29－a)(30－a)…(34－a)用排列数可表示
为 。
3.用4种不同的颜色涂入如图四个小矩形中，要求相邻矩形的涂色不
得相同，则不同的涂色方法共有 种。
4.从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 。
5.从 中任取三个数字，从 中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有多少个这样的数？
6.已知 其中 是常数,计算
7．已知 的展开式的各项系数之和等于 展开式中的常数项，求 展开式中含 的项的二项式系数.
8．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
（1）43251是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第96项是多少？
订正栏：
二元一次不等式组表示的平面区域
课时33(2) 二元一次不等式组表示的平面区域
一、知识梳理
1． 二元一次不等式组。
2．二元一次不等式组的解集是 ，
其几何意义是 。
3．二元一次不等式组所表示的平面区域应如何作出？
（1） （2）
二、例题讲解
例1．画出下列不等式组所表示的平面区域：
（1） （2）
例2． 的三个顶点坐标为 ，求 内人一点 所满足的条件。
例3．画出 表示的平面区域。
三、随堂练习：
1．图中阴影区域用不等式组可表示为 。
2．不等式组 表示的平面区域中的整点有 个。
3．不等式组 表示的平面区域的面积是 。
4．若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，
则 的取值范围是 。
四、作业反馈：
1．若 ，不等式 表示的区域是直线 的 方；
不等式 表示的区域是直线 的 方。
若 ，不等式 表示的区域是直线 的 方；
不等式 表示的区域是直线 的 方。
2．二元一次不等式组 表示的平面区域的整点坐标是 。
3．不等式组 表示的平面区域的的面积为 。
4．画出下列不等式组所表示的平面区域：
(1) （2）
5．用不等式组表示下列各图中的阴影区域：
6．若点 不在 的平面区域内，则实数 的取值范围是 。
7．若点 和 在直线 的两侧，则实数 的范围是 。
8．如果点 在两平行线 和 之间，则 应取的整数值为 。
9．满足 的整点 的个数是 。
10．不等式 的区域面积为 。
勤奋是智慧的双胞胎，懒惰是愚蠢的亲兄弟！
二元二次不等式
M
课时32 二元二次不等式（2）
目标：1. 会解简单的含有参数的一元二次不等式
2. 能利用等价转化的思想解简单的不等式（了解高次不等式的序轴标根法）
3. 解决一元二次不等式的简单应用
重难点: 喊参数的一元二次不等式和一元二次不等式的恒成立问题
一、针对练习
1.不等式 的解集为________________
2.不等式 的解集为________________
3.已知函数 的定义域为 ，则 的范围为________________
4.不等式 的解集为 ，则 的范围为________________
5.已知全集 ， ，则 ________________
二、例题
例1、解下列不等式
（1） （2）
（3） （4）
注：对于简单不等式的处理方法：1、用符号法则： 和 2、化为整式不等式 ； ________________
例2. 解下列不等式
(1) (2)
例3. 解关于 的不等式
(1) (2)
及时反馈:解关于 的不等式
例4. 若不等式 的解集为 ,求不等式 的解集.
例5. 已知不等式 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围.
例6. 用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600 的矩形吗？当长宽分别是多少时，所围成的矩形的面积最大？是多少？
讲解 例3（日产量与获利的关系）. 例4.(利用刹车距离分析事故)
三、方法再现
1.解一元二次不等式需先而先化为 或 再结合方程以及图象求解.体现”划归”的数学思想.若 一般先把它化成二次不等式,系数为正的一元二次不等式,再求解.
2.有关分式不等式可转化为不等式组(符号法则)或化为整式不等式, 象方程那样去分母.
3.求解含参数的不等式时,要运用分类讨论的思想,确定分类标准,做到不重不漏.
4.解决实际问题,有关键是把文字语言转换成数学语言,找准不等关系,求接后再回到实际作答.
四、课后反馈
1.函数 的定义域为________________
2.方程 有两个不等的实数根,则 的取值范围是______
3.若不等式 对一切实数 恒成立,则实数 的取值范围是______
4.已知不等式 的解集为 ,则 ________________
5.四个不等式 (1) (2) (3) (4) ,其中解集为 的序号是________________
6.不等式 的解集为 ,则 ________________
7.关于 的不等式 的解集为 ,则 的范围是________________
8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出能卖出400个,每涨价1元.其销售量就下降20个,为获得最大利润,售价应定为________元,此时所获得的最大利润为_________元.
9.若函数 的定义域为 ，则 的取值范围为________________
10.若 ， 满足 则实数 的范围是________________
11. 的解集是________________
12.不等式 的解集为________________
13.求下列函数的定义域
（1） （2）
14.解下列关于 的不等式（组）
（1） （2） （3）
（4） （5）
15.已知不等式 的解集为
（1）求 （2）解不等式
16.制作一个高为20cm的长方体容器，底面矩形长比宽多10cm，并且容积不少于400 ，问：底面矩形的宽应为多少？
17.设 根据下列条件求实数 使不等式 对于一切实数 恒成立？若存在，求出 的取值范围；
若不存在，请说明理由.
条件语句
j.Co M
课题：条件语句
一、目标：
1、知识与技能目标：通过实例掌握条件语句的格式及程序框图的画法、程序的编写.
2、过程与方法目标：在过程中体现的主要数学能力及数学思想方法。
(1)逻辑思维能力：通过实例使学生体会算法的思想加强学生逻辑思维能力和推理论证能力的培养。
(2)转化的思想方法：通过实例使学生能将自然语言整理成程序框图进而翻译成计算机语言，体现转化的思想方法。
3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神
二、教学重点与难点：
重点：程序框图的画法、程序的编写.
难点：程序的编写
三、教学方法：诱思探究.
四、教学过程：
教学环节教学内容师生互动设计意图
复
习
引
入
1、提问：画程序框图的图形符号及规则是什么？
2、一个实例：
某市电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3min，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3min，则超过部分以0.1元/min收取通话费（t以分钟计，不足1min按1min计），试设计一个算通话费用的算法，用Scilab语句描述.
3、怎样设计这个算法呢？
师问生答.
学生思考并且再想一些生活中、数学中的其他例子并回答.
画程序框图是解决问题的必要的一步，能使问题得到简化，所以有必要复习一遍。
现实生活中的实际例子可以使同学们对数学产生更大的兴趣.
学生带着问题听课可以提高听课效率.
概
念
形
成
教学环节条件语句：处理条件分支逻辑结构的算法语句叫条件语句.
Scilab语言中的条件语句分为if语句和select━case语句.
if语句的一般格式是：
if 表达式
语句序列1；
else
语句序列2
end
该语句的功能：如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句
教学内容 学生从这些例子中得到：这些问题所牵扯到的算法都包含了一种基本逻辑结构━条件分支结构.
老师讲过if语句的格式后，可以问if语句最简单的格式是什么？
if表达式
语句序列1；
end
师生互动先让学生知道概念并理解概念，然后指导解题.
设计意图
序列1；如果表达式结果为假，
则执行else后面的语句序列2
概
念
深
化1、任给一个实数，求它的绝对值. 开始
解：a=input(“a=”)
if a 0 输入a
x=a
elsea 0
x=--a 是 否
end x=a x=-a
print(%io(2),x)
输入x
结束
学生自阅课本P26第二段、第三段及例子。加深对概念的理解.
应
用
举
例
应
用
举
例2、儿童乘坐火车时，若身高不超过1.1m，则无须购票; 若身高超过1.1m不超过1.4m,英买全票.试设计一个购票的算法,写出程序并划出程序框图.
程序:
h=input(“h=”)
if h<=1.1
print(%io(2), “免费乘车”)
else
if h<=1.4
print(%io(2), “半票乘车”)
else
print(%io(2), “全票乘车”)
end
end
程序框图如图:
开始
输入h
h?1.1
是 否
输出“免费乘车”
h?1.4
是 否
输出“半票乘车”
输出“全票乘车
结束
可以师生共同分析得此题的算法步骤为:
S1测量儿童身高h
S2如果h?1.1,那么免费乘车; 如果h?1.4,
那么购半票乘车;否则,购买全票.
仿照例子由学生做这节课刚开始的引例及课本P27A2、B1
师生共同完成P27B4
实际问题要先建立模型
归
纳
小
结1、条件语句的基本形式、应用范围及对应的程序框图。
2、条件语句与算法中的条件结构相对应，语句形式较为复杂，要借助框图写出程序。有一位学生总结，其他同学补充，教师完善。引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
布
置
作
业1、看课本
2、必做题：P27 B2，3
3、选做题:（1）P27 B4
(2)从生活中找出一个例子，写出它的程序及框图。作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
〖目标〗
1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
〖重难点〗
教学重点 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点 能应用相关知识解决简单的实际问题。
〖教学过程〗
一、复习回顾
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
二、创设情境
在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下?
甲运动员?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节我们学习了用图表的方法研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节要通过样本的数据对总体的数字特。
三、 新知探究
众数、中位数、平均数
众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究：
分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么
问题？为什么会这样呢？
你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征 表示国家对每一个项目投资的平均金额？
解析：平均数。
一、标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下?
甲运动员?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们知道， 。
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察 图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度考察这两组数据。
1、标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
思考探究：
1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出： 。当 时，意味着所有的样本数据
都等于样本平均数。
2、方差
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
四、例题精析
例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
[分析]采用求标准差的方法
解：
所以甲水稻的产量比较稳定。
点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。
变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）92 , 2 (B) 92 , 2.8 (C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8
【答案】B
【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为
90+ =92；方差为 2.8，故选B。
例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是 .
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
点评：在直方图中估计中位数、平均数。
变式训练：
某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数48521
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 = ，病人等待时间的标准差的估计值 =
五、反馈测评
1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩678910
人数分布12467
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3.．样本 的平均数为5，方差为7，则3 的平均数、方差，标准差分别为
4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
六、堂小结
1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的.公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
〖板书设计〗
〖书面作业〗
本 6 7
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
前预习学案
一、预习目标：
通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：
1、知识回顾：
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
2、众数、中位数、平均数的概念
众 数:____________________________________________________________________
中位数:___________________________________________________________________
平均数:____________________________________________________________________
3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系：
众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________
中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.
4.标准差、方差
标准差 s=_________________________________________________________________
方 差s2=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
内探究学案
一、学习目标：
1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
二、学习内容
1.众数、中位数、平均数
思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？
思考2： 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征表示国家对每一个项目投资的平均金额？
2. 标准差、方差
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下?
甲运动员?7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员?9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
3、〖典型例题〗
例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在
的人数是 .
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
三、反思总结
1、 在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?
四、当堂检测
1．在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
成绩678910
人数分布12467
则选手的平均成绩是 （ ）
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
等待时间（分钟）
人数48521
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 = ，病人等待时间的标准差的估计值 =
4．样本 的平均数为5，方差为7，则3 的平均数、方差，标准差分别为
5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
后练习与提高
1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 的值为（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得 ，则 ，又由于方差为2，则 得
所以有 ，故选D.
2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为 =1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1 （万）；中位数和众数均为1万
3.下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
老板大厨二厨采购员杂工服务生会计
3000元450元350元400元320元320元410元
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
解：（1）平均收入 （3000+450+350+400+320+320+410）=750元
（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入 （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之
线段的定比分点与平移
题目 第五章平面向量 线段的定比分点与平移
高考要求
掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式 并且能熟练运用掌握平移公式
知识点归纳
1 线段的定比分点定义：设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ，使 ， 叫做点P分有向线段 所成的比 当点P在线段 上时， ；当点P在线段 或 的延长线上时，<0
2 定比分点的向量表达式：点P分有向线段 所成的比是 ，
则 （O为平面内任意点）
3 定比分点的坐标形式: ,其中P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)
4 中点坐标公式: 当 =1时，分点P为线段 的中点，即有
5 的重心坐标公式：
6 图形平移的定义:设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’，我们把这一过程叫做图形的平移
7 平移公式: 设点 按向量 平移后得到点 ，则 ＝ + 或 ，曲线 按向量 平移后所得的曲线的函数解析式为：
这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系
题型讲解
例1 已知点 ，线段 上的三等分点依次为 、 ，求 、 ，点的坐标以及 、 分 所成的比
解：设 、 ，
则 ，
，即
， ，即
由 ，得： ，∴ ；
由 ，得： ，∴ ；
点评:定比是根据 求得的,必须搞清起点、分点、终点 顺序不可搞错
例2 已知ΔABC的三个顶点为A(1,5),B(─2,4),C(─6,─4),BC边上有一点M，使ΔABM的面积等于ΔABC面积的1/4 求线段AM的长度
分析：关键是求出点M的坐标，而ΔABC和ΔABC共用∠B和边AB 把两个三角形的面积比转化为它们相对应的边的比，再转化为M分 的比λ，这是解决此问题的关键
解：由 = ,知 ,
而M是 的内分点，故λ= ,
由公式求得M(─3,2) ∴AM=5
例3（1）把点A(3,5)按向量 平移，求平移后对应点A’的坐标
（2）把函数 的图象按向量 平移得F’，求F’的函数解析式
解：（1）设A’(x,y)，根据平移坐标公式得，得 得A’(7,10)
（2）设P (x,y)为F上的任意一点，它在F’上的对应点P’(x’,y’)，
则 ，即
代入 中，得到
即
所以F’的函数解析式为
点评：正确选择平移公式，强化代入转移去思想
例4 是否存在这样的平移，使抛物线： 平移后过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 轴的两个交点构成的三角形面积为 ，若不存在，说明理由；若存在，求出函数的解析式
解：假设存在这样的平移 ，
由平移公式 即
代入 得 ，
即平称后的抛物线为 ，顶点为
由已知它过原点得： ①
令 ，求得 因此它在 轴上截得的弦长为
据题意： ，∴ 代入①
得
故存在这样的平移 或
当 时，平移后解析式为 ；
当 时，平移后解析式
点评：确定平移向量一般是配方法和待定系数法，此题采用待定系数法
例5 设函数 试根据函数 的图象
⑴作出 的图象，并写出变换过程；
⑵ 的图象是中心对称图形吗？
⑶写出 的单调区间
解：⑴令 ，化简得 ，
即
又令 得 ，
由平移公式知，由 的图象按向量 平移，可得 的图象，反之，由 的图象按向量 平移，可得到 的图象，即，将 的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，便得到 的图象
⑵由图知， 的图象是中心对称图形，其对称中心为
⑶单调减区间为 和
例6 已知ΔABC的三个顶点的坐标是A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求ΔABC的内心I坐标
解：根据角平分线的性质定理结合定比分点的概念解法相当简洁
设∠A的平分线交BC于点D，
则λ=
由两点间的距离公式可求出c=AB= ,
类似的可求出CA(设为b)和BC(设为a),
∴由定比分点的坐标公式可得I(x,y)为：
例7 定点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上的动点,∠POA的平分线交PA于Q 求Q点的轨迹方程
分析：角平分线条件的转化，是本题的关键 设Q(x,y),P(x1,y1),思路是找出P和Q两点坐标之间的关系，列参数方程
解：设Q(x,y),P(x1,y1),
点Q分 的比为AQ/QP=OA/OP=3，
∴x= , y= ?x1=4x/3─1, y1=4y/3,
代入 =1化简得: (x─3/4)2+y2=9/16
点评：本题巧妙运用了定比分点的概念，并和角平分线性质定理结合起来,要认真体会并在解题中根据条件灵活运用定比分点的概念
小结：
1 运用有向线段的定比分点公式时，应注意有向线段的起点及终点的位置及“内分”，“外分”的不同特点 P在直线P1P2上的位置与λ的值是一一对应的 具体求λ或定比分点坐标时，要注意根据给定条件利用平面几何的主要结论 比如平行线的性质，角平分线的性质定理等
2 使用平移公式时，要注意：点的平移时，给定平移向量由旧标求新标用公式 ；由新标求旧标用公式 图形平移时，给定平称向量，由旧解析式求新解析式，用式子 代入旧式整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式 代入新式整理得到
3 直角坐标系中通过坐标平移，曲线方程的次数不变 曲线的形状大小不变，变化的只是曲线和坐标点的相互位置关系与曲线方程的形式 某些曲线方程可以通过化简给我们的研究曲线带来方便
学生练习
1 已知点A分有向线段 的比为2，则在下列结论中错误的是（ ）
A 点C分 的比是- ?B 点C分 的比是-3?
C 点C分 的比是- ?D 点A分 的比是2
2 已知两点P１（－１，－６）、Ｐ２（３，０），点P（－ ，ｙ）分有向线段 所成的比为λ，则λ、ｙ的值为（ ）
A － ，８ ?B ，－８? ?C － ，－８ ? D ４，
3 △ABC的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是（ ）
A (2，-7) ?B (-7，2)? C (-3，-5) ?D (-5，-3)
4 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=
5 △ABC的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C点坐标为
6 已知M为△ABC边AB上的一点，且Ｓ△ＡＭＣ＝ Ｓ△ＡＢＣ，则M分 所成的比为
7．ΔABC的两个顶点是A(1,0),B(0,3),重心G(2,2),则C点的坐标是
8 若点P分 所成的比为2/3, 则点A分 的比是 ,B分 的比是
9．已知点P分 的比为λ（λ≠0),则点P分 的比为 ,点B分 的比为
10．已知A(x,5),B(─2,y),直线AB上的点C(1,1)使得AC=2BC,则x= y=
11 已知点A(-1,-4)、B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为P１、Ｐ２，求Ｐ１、Ｐ２点的坐标以及A、B分 所成的比λ．
12 过P１（１，３）、Ｐ２（７，２）的直线与一次函数 的图象交于点P，求P分 所成的比值 ??????
13 已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB、CD的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 ???
参考答案：1 D 2 C 3 A 4 2或 5 (8,-4) 6
7．(5,3) 8 (─2/5)，(─5/3) 9． (1/λ)，(─λ─1)
10．(7或─5); (─1或3) (1)由AC=2BC,则λ=AC/CB有两个值:2和─2, λ=2时，x=7,y=─1; λ=─2时，x=─5,y=3 (2) λ用坐标计算的计算公式
11 P1(1,-2),P2(3,0),A、B分 所成的比λ1、λ2分别为- ,-2
12 13 Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）?
课前后备注
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